Reflexion einer Wasserwelle

Eine Animation der Reflexion einer Wasserwelle:

Für ausführliche Information und Erklärungen (in Englisch) bitte wenden Sie sich um https://bhaskarkamble.com/physics/reflections.

Ein Video über Wellen und Oszillationen

Hier ist ein Video über Wellen und Oszillationen in Physik, das ich 2014 in TU Kaiserslautern gemacht habe. Das Video ist in Englisch.

Der Kreis rollt! - Hypozykloide und Epizykloide

Was sind Hypo und Epizykloide

Nehmen wir an, dass ein Kreis ohne Reibung innen und entlang dem Umfang eines großeren Kreises rollt. Der Radius des kleineren Kreises ist r und der Radius des großeren Kreises ist R. Der großere Kreise bleibt stehen. Nehmen wir weiter an, dass es einen festen Punkt P auf dem Umfang des kleineren (bewegenden) Kreises gibt, der sich mitsamt der Kreises bewegt. Die Kurve, die P beschreibt wenn der kleinere Kreis rollt, nennt man eine Hypozykloide.

Ein Beispiel von Hypozykloide steht unten.

Fig. 1

Wenn der Kreis vom Radius r außen auf dem Kreis vom Radius R ohne Reibung rollt, nennt man die Kurve, die Punkt P macht, eine Epizykloide. In diesem Fall kann r, der Radius des bewegenden Kreises, entweder großer oder kleiner als R, der Radius des stilles Kreises, sein. Ein Beispiel von Epizykloide steht unten.

Fig. 2

Je nach dem Verhältnis r/R gibt es eine unendliche Zahl von Epi- und Hypozykloide. Wenn r/R eine rationale Zahl ist (ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen), schließt die Kurve nach endlichen Umläufen. Wenn das Verhätnis irrational ist, schließt die Kurve nie.

Im oben wurde erwähnt, dass wenn es eine Hypozykloide betrifft (d.h. der bewegender Kreis rollt innen von einem stillen Kreis), ist r, der Radius des bewegenden Kreises, kleiner als R, der Radius des stillen Kreises. Aber später sehen wir, dass diese Bedingung nicht notwendig ist. Wenn es um Hypozykloide geht, und der bewegende Kreis ist großer als der stille Kreis, dann ist die entsprechende Hypozykloide gleich als eine Epizykloide.

Die Gleichung einer Hypozykloide

Fig. 3a

Fig. 3b

Hier herleiten wir die parametrische Gleichung einer Hypozykloide. Wir sind in einem Bezugssystem mit xy Koordinaten, so dass die x-Achse die horizontale Achse ist und die y-Achse die Vertikale Achse ist. Der Mittepunkt des stillen Kreises ist der Ursprung des Koordinatensystems. Der Ursprung des Koordinatensystems wird als O bezeichnet und der Mittepunkt des bewegenden Kreises wird als C bezeichnet. Der bewegende Kreis hat Radius r und der stille Kreis hat Radius R. Nehmen wir an, dass die Anfangsposition des bewegenden Kreises ist wie im Abb. 3a gezeigt wird, und dass der Punkt P am Anfang auf der x-Achse liegt. P wird am Umfang des bewegenden Kreises gefestet. Wenn der Kreis rollt, bewegt sich der Punkt P auch. Sei die neue Position des bewegenden Kreises und die neue Position des Punktes P wie im Abb. 3b gezeigt. Im Abb. 3b ist ϕ der Winkel zwischen OC und der x-Achse. θ ist der Winkel zwischen CS und CP und S ist der Kontaktpunkt der Kreise in der neuen Position. x und y sind die Koordinaten des Punktes P.  Wir wollen x und y herausfinden. Dazu beobachten wir, dass x die horizontale Projektion von P ist, was die horizontale Projektion von OC + die horizontale Projektion von CP gleicht. OC ist gleich R-r und die horizontale Projektion von OC ist (R-r)cosϕ. CP ist gleich r und die horizontale Projektion von CP ist rcos(θ-ϕ). Das heißt,

x = (R-r)cosϕ + rcos(θ-ϕ)

In der gleichen Weise, wenn wir die vertikalen Projektionen von OC und CP nehmen, ergibt sich für y

y = (R-r)sinϕ - rsin(θ-ϕ)

Von der Reibungslosbedingung, rθ = Rϕ. Wenn wir diese Gleichung in die obenen Gleichungen für x und y einsetzen, bekommen wir

die die parametrische Darstellung der Gleichung der Hypozykloide sind.


Nehmen wir an, dass r/R = m/n, wo m und n ganze Zahlen sind. Dies bedeutet, dass der Mittelpunkt des bewegenden Kreises läuft herum den Mittelpunkt des stillen Kreises m mal während sich der Punkt P den Umfang des stillen Kreises n mal berührt (aussßchliend der Anfangspunkt). Zum beispiel in Figur 1 haben wir n=5 und m=2. Es ist interessant die gleiche Kurve ist zu sehen, wenn n=5 und m=3. In der folgenden Figur gilt für den kleineren bewegen Kreis m=2 und n=5, und für den großeren bewegenden Kreis gilt m=3 und n=5, d.h. der Radius des kleineren bewegenden Kreises ist 2R/5 und der Radius des großeren bewegenden Kreises ist 3R/5.

Fig. 4

Allgemein wird gesehen, dass die Hypozykloide, die ein bewegender Kreis mit Radius mR/n generiert (mit m < n), ist genau die gleiche als die, die ein bewegender Kreis mit Radius (n-m)R/n generiert. Die nächste Figur veranschaulicht diesen Punkt mit zwei bewegenden Kreisen. Der kleinere bewegende Kreis hat Radius 15R/37 und der großere bewegende Kreis hat Radius (37-15)R/37=22R/37.

Es wird gesehen, dass die beiden bewegenden Kreisen generieren die glieich Hypozykloide.

Ein interessanter Fall ergibt sich, wenn r = R/2, d.h. der Radius des bewegenden Kreises ist genau halb des Radiuses des stillen Kreises. In diesem Fall ist die Hypozykloide einfach eine Linie:

Fig. 5

Der Gleichung einer Epizykloide

Fig.6

Hier kann die folgende Gleichung für eine Epizykloide hergeleitet werden:

Hier zeige ich fünf Fälle der Epizykloide.

Fig. 7

Die Radii der bewegenden Kreisen sind R/5, 2R/5, 3R/5 und 4R/5.

Hypozykloide wenn der bewegende Kreis großer als der stille Kreis ist

Was passiert wenn, wenn es sich um eine Hypozykloide handelt, der bewegende Kreis ein Radius großer als der stille Kreis hat? In der folgenden Figur zeige ich den Fall mit r = 1.28R. Weil 1.28 = 32/25, kreist der Center des bewegenden Kreises um den Center des stillen Kreises 37 mal um, während der Punkt P berührt den Umfang des stillen Kreises 25 mal.

Die Kurve, die Punkt P macht, sieht genau wie eine Epizykloide aus. Könnte es in der Tat eine Epizykloide sein? Wenn ja, dann muss der bewegende Kreis, der diese Epizykloide generiert, muss ein Radius r-R haben. Das heißt, weil in diesem Fall r=32R/25, muss der bewegende Kreis ein Radius 7R/25 haben. Im folgenden Animation wird zwei bewegenden Kreise gezeigt. Einer von diesen Kreisen hat Radius 32R/25 und der andere hat Radius 7R/25. Und tatsächlich generieren beide Kreisen die selbe Kurve!

In der obenen Figur beschreibt der Punkt auf dem roten Kreis eine Hypozykloide, obwohl der rote Kreis großer als der stille (schwarze) Kreis ist. Der Punkt auf dem grünen Kreis beschreibt eine Epizykloide, und offensichtlich sind die beiden Kurven die gleiche!

Weitere Links

1. Wikipedia hat viele Seiten mit ausführlichen Informationen über Epizykloide und Hypozykloide, z.B. die folgenden zwei Seiten:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid

https://de.wikipedia.org/wiki/Epizykloide

2. In der folgenden Webseite können Epizykloide und Hypozykloide in einer interaktiven Weise generiert werden:

http://www.v-jaekel.de/animate-trochoid-en.html

3. Gruppentheorie und Hypozykloide:

http://blogs.ams.org/visualinsight/2013/12/01/deltoid-rolling-inside-astroid/

https://johncarlosbaez.wordpress.com/2013/12/03/rolling-hypocycloids/

4. Um die Animationen in diesem Post zu generieren, habe ich die Programmierungssprache Python benutzt. Die folgende Webseite kann als ein Ausgangspunkt dienen, um Animationen in Python zu generieren:

https://jakevdp.github.io/blog/2012/08/18/matplotlib-animation-tutorial/